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立体几何有关的知识定理和试题一直是高考数学的一个热门考点,不管是全国哪个省市,每年必有一道立体几何有关的解答题或若干道填空题和选择题。虽然大家都知道此块知识内容的重要性,但在高考数学里的得分率往往偏低,一些考生因基础不扎实或没有掌握好相应的方法技巧,丢失分数,非常可惜。

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因此,如何在高考复习阶段提高立体几何的解题成功率,提升复习效率,成为很多家长和考生非常关心的话题。

立体几何题得分率偏低,还有一个原因就是会涉及到比较多的概念和定理,如线线之间、线面之间、面面之间以及垂直与平行之间等这些知识内容,这就给知识的记忆、识别与应用都提出了较高的要求。

像其中直线与平面的垂直关系,两条看似相交成锐角的直线,其实是互相垂直的异面直线,两个看似没有公共点的平面,延展之后其实是相交的,这些情况,对空间想象能力和逻辑推理能力都提出了较高的要求。

立体几何中的垂直包括线线垂直、线面垂直、面面垂直,其中最基本的是线线垂直,而最关键、最能体现空间特征的是线面垂直。

认真分析全国各地高考数学试题中考查立体几何的试题,我们会发现考查立体几何中的线面垂直与面面垂直成为热点问题之一,分析这些试题其内容涉及的教学内容,重点考查了线线、线面、面面位置关系等基本知识,特别是考查了数学的基本能力如空间想象能力、逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力、数据处理能力等。

直线、平面垂直有关的高考试题分析,典型例题1:

如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC,△ABC分别是以A,B为直角顶点的等腰直角三角形,AB=1.

(1)现给出三个条件:①PB=√3;②PB⊥BC;③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件,并证明:PA⊥平面ABC;

(2)在(1)的条件下,求三棱锥P-ABC的体积.

解立体几何题关键是要抓好垂直,无论是从学科特点还是从高考命题角度上分析,垂直都是立体几何解题的一个关键突破口,这是因为垂直是立体几何核心知识中的核心。

垂直是定义立体几何新概念的重要工具,如异面直线的距离,线线、线面、面面所成角等异于平面几何的全新概念都与垂直有关。

垂直是空间位置关系转化的立交桥,如三垂线定理、众多的性质定理或者判定定理等都依赖于垂直条件;垂直还是各类计算公式(角、距离、面积、体积等)的必要构成。

在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理。

过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

直线、平面垂直有关的高考试题分析,典型例题2:

设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:

①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;

②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;

③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;

④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.

其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选D 对于①,由b不在平面α内知,直线b或者平行于平面α,或者与平面α相交,若直线b与平面α相交,则直线b与直线a不可能垂直,这与已知“a⊥b”相矛盾,因此①正确.

对于②,由a∥α知,在平面α内必存在直线a1∥a,又a⊥β,所以有a1⊥β,所以α⊥β,②正确.

对于③,若直线a与平面α相交于点A,过点A作平面α、β的交线的垂线m,则m⊥β,又α⊥β,则有a∥m,这与“直线a、m有公共点A”相矛盾,因此③正确.

对于④,过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1,则有a∥a1,b∥b1,又a⊥b,所以a1⊥b1,所以α⊥β,因此④正确.综上所述,其中正确命题的个数为4.

可以说,垂直的知识容量大,关联元素多,发散空间广,在客观上是处于核心地位的。

垂直是高考立体几何命题重点中的重点,由于垂直的核心地位,在高考立体几何命题中它理所当然的成为重点考查的对象。

在近几年立体几何有关的高考数学试题,我们很难找到不用垂直的题型,垂直是探索解题思路重要突破口中的突破口。从探索解题思路的策略上看问题,垂直往往是关键的题眼,需要我们将其放在优先考虑的地位。

如面对多个已知条件,不妨优先选择使用垂直的条件;构造辅助线,不妨优先作出垂直的辅助线(垂线或垂面);面对关系的转化,不妨优先使用垂直关系来促进转化。

直线、平面垂直有关的高考试题分析,典型例题3:

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB/2,PH为△PAD中AD边上的高.

(1)证明:PH⊥平面ABCD;

(2)若PH=1,AD=√2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;

(3)证明:EF⊥平面PAB.

我们研究直线、平面垂直有关的高考试题及解法,这对高考立几复习有很好的帮助,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

这些问题都要求考生具备一定的综合能力,且有一定的计算量,能够利用图形特点建立空间坐标系解决,特别是建立空间坐标系后涉及解决求线面角、面面角、异面直线间的距离、体积等问题都比较容易。

总之,直线、平面垂直有关的知识定理和试题是高考数学的重要考查内容之一,必须掌握常见的题型及解题方法,对常见的几何模型必需能从中寻找解题突破口,尤其是如何合理建立空间坐标系进行解题的方法与技巧必需能正确使用,以达到简化计算、提高能力的目的,同时也要注意推理的逻辑性、严密性,保证解题正确无误。

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