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在众多中考数学大题中,动点有关的问题是永远绕不开的话题。我们认真分析全国各地中考数学试卷,会发现动点问题一直是中考数学的热点,以它为知识背景的压轴题更是屡见不鲜。因此,如果大家要想学好数学,在中考里取得高分,那么就必须好好掌握动点问题。

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动点问题成为考查学生的热点题型,其实一点都不意外,因为此类题型不仅涉及知识点多,综合性强,解法灵活,题型多样化,而且能将几何知识和代数知识进行紧密结合。因此,动点问题既能考查学生的基本运算能力,又能考查学生的思维能力和空间想象能力,较综合地体现了中考数学对学生的素质要求。

不过纵观历年中考试卷,考生在此类试题上得分率并不高,甚至很多学生只能拿到一两分。究其原因,主要是由于此类题型涉及信息较多,综合难度较大,给考生的问题解决带来一定的困难。

动点问题最大的特点就是以运动的点、线段、变化的角、图形的面积等为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的函数关系或是其他关系;或变量在一定条件下为定值,进行相关的计算和综合解答,解答此类题型,一般要根据点的运动和图形的变化过程,对其不同情况进行分类求解。

考生如何学会解动点问题呢?最主要还是提高分析问题和解决问题的能力,理解动与静的辩证关系,优化解题方式,提高逻辑思维能力等。

动点有关的中考压轴题讲解分析,典型例题1:

如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12√2,点C的坐标为(-18,0)。

(1)求点B的坐标;

(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式;

(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

考点分析:

一次函数综合题,等腰直角三角形判定和性质,相似三角形判定和性质,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,菱形的判定和性质。

题干分析:

(1)构造等腰直角三角形BCF,求出BF、CF的长度,即可求出B点坐标。

(2)已知E点坐标,欲求直线DE的解析式,需要求出D点的坐标.构造△ODG∽△OBA,由线段比例关系求出D点坐标,从而可以求出直线DE的解析式。

(3)如图所示,符合题意的点Q有4个:

设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,

则E(0,4),F(4,0),OE=OF=4,EF=4√2。

①菱形OEP1Q1,此时OE为菱形一边。

则有P1E=P1Q1=OE=4,P1F=EF-P1E=4√2-4。

易知△P1NF为等腰直角三角形,

②菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称,

③菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边。

此时P3与点F重合,菱形OEQ3P3为正方形,

∴Q3(4,4)。

④菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线。

由菱形性质可知,P4Q4为OE的垂直平分线,

由OE=4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式y=-x+4得横坐标为2,则P4(2,2)。由菱形性质可知,P4、Q4关于OE或x轴对称,∴Q4(-2,2)。

在动点问题中,先要解决好动与静的关系,因为这是解决动点问题的关键所在,运动是永恒的,静止则是相对的,动中有静,静中有动,二者相互依存,相互制约,相互统一。处理动点问题的原则是复杂问题简单化,动态问题静态化,动中取静,处理好特定时间点的变量关系。

动点问题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的关系,或变量在一定条件下为定值时,进行相关的几何计算和综合解答。解答此类题目的时候,一般要根据点的运动、图形的变化过程,对其不同情况进行分类求解,突出了数学本质

动点有关的中考压轴题讲解分析,典型例题2:

如图,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,

CD∥AB.∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时时间t秒.

(1)求点C的坐标;

(2)当∠BCP=15°时,求t的值;

(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.

考点分析:

动点问题,切线的性质,坐标与图形性质,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

题干分析:

(1)由∠CBO=45°,∠BOC为直角,得到△BOC为等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3,然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标。

(2)分点P在点B右侧和点P在点B左侧两种情况讨论即可。

(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,分三种情况讨论:①当⊙P与BC边相切时,②当⊙P与CD相切于点C时,③当⊙P与CD相切时。

通过动点的设置,使静止的几何图形动起来,这样不仅使试题具有新意,而且更具有活力,在考查学生基础知识的同时,增加了思维量和开放性。

在中考数学里,与动点有关的问题一般都是试卷的难点,但此类问题对考查学生的思维品质和各种数学能力都有很大的区分作用,所以一直深受命题老师的青睐。

近几年来的中考压轴题都降低了平面几何论证的要求,以纯几何论证为知识背景的中考压轴题越来越少,而以动点有关的函数与几何为知识背景的压轴题,已经成为中考压轴题中的一种重要题型。

函数与几何有关的动点问题能将代数与几何的众多知识有效整合,能有效考查学生分析问题和解决问题的能力,较好渗透了分类讨论、数形结合、化归等重要的数学思想方法。

函数与几何有关的动点问题是对传统平面几何的继承和发展,不仅拓宽了学生的思维空间,而且能有效地把方程、坐标、函数等代数知识整合在一起,使几何试题更具有综合性,更有效考查学生的数学知识和数学能力。

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